Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn: a+b+c=1. Tìm GTLN của biểu thức: \(P=\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{ac}{b+ac}}\)
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=2\). Yìm GTLN của biểu thức
\(P=\dfrac{ab}{\sqrt{ab+2c}}+\dfrac{bc}{\sqrt{bc+2a}}+\dfrac{ca}{\sqrt{ac+2b}}\)
\(\dfrac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\dfrac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\dfrac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}=ab\cdot\sqrt{\dfrac{1}{a+b}\cdot\dfrac{1}{b+c}}\le ab\cdot\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{ab}{b+c}\right)\)
CMTT: \(\dfrac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}\right);\dfrac{ac}{\sqrt{ac+2b}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ac}{b+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{ab}{c+b}+\dfrac{bc}{b+a}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ac}{b+c}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\dfrac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{a+b}\right]=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=1\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\dfrac{ab}{\sqrt{ab+c\left(a+b+c\right)}}=\dfrac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}\right)\) ; \(\dfrac{ca}{\sqrt{ac+2b}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{ca}{b+c}\right)=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=1\)
\(P_{max}=1\) khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
\(P=\sqrt{\dfrac{a}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{b}{b+ac}}+\sqrt{\dfrac{c}{c+ab}}\)
Thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ hay $a+b+c=1$ vậy bạn?
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\). Tìm giá trị lớn nhất nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2}-ac+a^2}\)
cái cuối là \(\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\) nha
\(a^2+b^2-ab\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2}}=\dfrac{2}{a+b}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c=1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\(\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\)
\(\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}\right)\) ; \(\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+b}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
cho ba số thực dương a b c thỏa mãn ab+bc+ac≤1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết:
P= \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2-abc}}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+c^2-abc}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+b^2-abc}}\)
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab+bc+ac=3abc. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\dfrac{bc}{b+c+1}}+\sqrt{\dfrac{ca}{c+a+1}}\ge\sqrt{3}\)
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab+bc+ac=3abc. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\dfrac{bc}{b+c+1}}+\sqrt{\dfrac{ca}{c+a+1}}\ge\sqrt{3}\)
#Toán lớp 9
cho a,b,c là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức
P=\(\dfrac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\dfrac{\sqrt{ac}}{b+2\sqrt{ac}}+\dfrac{\sqrt{ba}}{c+2\sqrt{ba}}\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\dfrac{2\sqrt{ac}}{b+2\sqrt{ac}}+\dfrac{2\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\right)\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{a}{a+2\sqrt{bc}}+1-\dfrac{b}{b+2\sqrt{ca}}+1-\dfrac{c}{c+2\sqrt{ab}}\right)\)
\(P=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+2\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{b+2\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{c+2\sqrt{ab}}\right)\)
\(P\le\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{a+2\sqrt{bc}+b+2\sqrt{ca}+c+2\sqrt{ab}}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}=1\)
\(P_{max}=1\) khi \(a=b=c\)
Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn a + b +c = 3 . Chứng minh rằng : \(\dfrac{\sqrt{3a+bc}}{a+\sqrt{3a+bc}}+\dfrac{\sqrt{3b+ac}}{b+\sqrt{3b+ac}}+\dfrac{\sqrt{3c+ab}}{c+\sqrt{3c+ab}}\) ≥ 2